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【頭の体操】頭が固い人には解けないかも!面積の問題#12

2020年10月30日

<頭が固い人には解けない問題?>

円が4つ接する図形

図のような半径10cmの円が4つあります。

4つの円はそれぞれ90°横方向の円と接しています。

さて、この図の赤い部分の面積はいくらでしょう?

しばらく考えてください。分かりましたか?

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説明します。

図の中央に補助線を二本引いてみます。

2本の補助線は、それぞれの円の接線になっています。


接線により出来た4つの図形を、円の周りに90°ごとにくっつけてみました。

円の半径は10cmですので、一辺20cmの正方形が出来上がりました。

赤い部分はこの正方形と、円1個となります。

よって、赤い部分の面積は、20cm×20cm+10cm×10cm×3.14=714c㎡になります。

 

高さが分からない図形

3cm×4cmの長方形の上に、底辺が4cmの三角形が乗っています。

三角形の頂点から、長方形の下の二つの角に線が伸びています。

上に乗っている三角形の高さは分かりません。

赤い部分の面積はいくらでしょう?

しばらく考えてください。分かりましたか?

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説明します。

上に乗っている三角形の頂点から、長方形の底辺に向かって、垂線を降ろします。

その垂線に沿って、赤い三角形を長方形の中に、変形させながら移動します。

3cmを底辺として高さは変わらないので、面積は変わりません。

図のように移動させると、赤い部分は長方形の半分になります。

よって、赤い部分の面積は、3cm×4cm÷2=6c㎡になります。

 

正方形と正三角形

一辺6cmの正方形の上に、一辺6cmの正三角形が乗っています。

正三角形の頂点から、正方形の左下角に線を引きます。

その線と平行に1本、直角に交わる線を2本引きます。

それぞれの線の片方がが正方形の角に来るようにします。

中央に斜めになった赤い正方形が出来ます。

さて赤い正方形の面積はいくらでしょう?

しばらく考えてください。分かりましたか?

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説明します。

緑の部分は、二辺が6cmの平べったい二等辺三角形です。

二等辺三角形の頂点の角度は90°+60°で150°になり、残り二つの角度は15°になります。

正三角形を二等分すると、半分にした部分の一辺は6cmの半分の3cmになります。

緑の部分は、底辺6cm、高さ3cmの三角形でもあります。

緑の部分の面積は、6cm×3cm÷2=9c㎡になります。


緑の二等辺三角形を半分にしました。面積は9c㎡÷2=4.5c㎡です。

緑の部分は斜辺が6cm、角度が15°、75°、90°の直角三角形です。

緑の三角形と、青、黄色、水色の三角形も、斜辺の長さと三つの角度が同じです。

よって、面積も同じになります。

緑、青、黄色、水色のそれぞれの直角三角形の面積は、4.5c㎡です。

一辺6cmの正方形から4つの直角三角形を引くと、赤い正方形の面積が求められます。

よって、赤い正方形の面積は、6cm×6cm-4.5c㎡×4=18c㎡になります。

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