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【頭の体操】頭が固い人には解けないかも!面積の問題#9

2020年10月25日

<頭が固い人には解けない問題?>

直角三角形がふたつ

図のような直角三角形と直角二等辺三角形が重なっています。

AとBは同じ角度、寸法が分かっているのは直角三角形の4cmのみです。

赤い部分の面積はいくらでしょう?

しばらく考えてください。分かりましたか?

+ 解答はここをクリック

説明します。

図の中に新たな情報がないか調べてみましょう。

この図は、白い三角形が二つ、赤い三角形が一つあるといえます。

直線が交わっている箇所があります。ここのCとDは同じ角度です。

白い左の三角形と、白い右の三角形は、直角とCとDの角度が同じなので、BとEの角度も同じです。


ここで4cmの辺と、直角二等辺三角形の右の斜辺を延長して大きな三角形を作ります。


その中に緑と青の直角三角形ができました。

AとBの角度が同じで、接している辺の長さも同じなので、ふたつの直角三角形は左右対称の同じ形です。

左右対称なので、緑の4cmの部分は、青の部分も同じで4cmになります。


色を塗ってみました。青の直角三角形と緑の直角三角形に注目してください。

それぞれの三角形の底辺は、大きな直角二等辺三角形の斜辺と同じです。

BとEの角度も同じです。よってふたつの三角形は同じ形になります。

青の直角三角形の斜辺は4cm+4cm=8cmで、緑の直角三角形の斜辺も8cmになります。

接している赤い三角形の底辺も8cmになります。高さは元々4cmです。

よって赤い三角形の面積は、8cm×4cm÷2=16c㎡になります。


少し見づらいので図を回転してみました。

赤い三角形を注目してください。

底辺が8cm、高さが4cmの三角形です。

赤い三角形の面積は、8cm×4cm÷2=16c㎡になります。

 

平べったい二等辺三角形

両サイドが15°の平べったい二等辺三角形があります。

ふたつの辺は4cmです。

赤い部分の面積はいくらでしょう?

しばらく考えてください。分かりましたか?

+ 解答はここをクリック

説明します。

片方の斜辺を延長して、白い直角三角形を追加してみました。

赤い二等辺三角形の両サイドが15°なので、中央の角度は150°になります。

斜辺をそのまま延長しているので、150°の横は180°-150°で30°になります。

白い直角三角形の斜辺は4cmです。

角度が30°なのでこの白い三角形は、正三角形の半分です。

正三角形の半分なので、一番短い辺は4cmの半分で2cmになります。

赤い二等辺三角形の面積は、4cm×2cm÷2=4c㎡になります。


少し見づらいので図を回転してみました。

赤い三角形を見てください。

底辺が4cm、高さが2cmの三角形です。

赤い三角形の面積は、4cm×2cm÷2=4c㎡です。

 

正六角形の赤の面積は?

図のような正六角形があります。

正六角形の面積は36c㎡です。

さて赤い部分の面積はいくらでしょう?

しばらく考えてください。分かりましたか?

+ 解答はここをクリック

説明します。

補助線を引いてみます。

正六角形の中に、正三角形やその半分の三角形があることがわかります。

同じ形があるので、赤い部分を移動してみましょう。

AをBに、CをDに移動してみます。


正三角形が二つできました。

正六角形は正三角形が六つあります。そのうち二つが赤くなりました。

赤い部分の面積は、36c㎡÷6×2=12c㎡です。

以上、お疲れさまでした。

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