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【頭の体操】頭が固い人には解けないかも!面積の問題#8

2020年10月23日

<頭が固い人には解けない問題?>

線を消す?

図のような正方形があります。正方形の一辺は20cmです。

赤い部分の面積はいくらでしょう?

しばらく考えてください。分かりましたか?

+ 解答はここをクリック

説明します。

図形問題を解く時に良く補助線を使用しますが、今回はあえて線を消してみました。

非常にシンプルな図形になりました。


まず緑の面積を求めてみましょう。

正方形から円の面積を引いて、四分の一にします。

緑の面積は、(20cm×20cm-10cm×10cm×3.14)÷4=21.5c㎡です。

次は扇形です。

扇形の面積は、20cm×20cm×3.14÷4=314c㎡です。

赤い部分の面積は、正方形-緑-扇形です。

赤い部分の面積は、20cm×20cm-21.5c㎡-314c㎡=64.5c㎡です。

赤い部分の2箇所の面積は、64.5c㎡×2=129c㎡になります。

 

赤い部分の面積

図のような長方形があります。

赤い部分の中に、直角二等辺三角形が一つと、直角三角形が二つあります。

赤い部分の面積はいくらでしょう?

しばらく考えてください。分かりましたか?

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説明します。

計算できる角度と寸法を記入してみました。

赤い三角形は、角度15°がある直角三角形です。

黄色い三角形も、角度15°がある直角三角形です。

斜辺の寸法も同じなので、黄色い三角形と赤の三角形は同じ形です。


白色の三角形は、角度60°がある直角三角形です。

角度60°があるということは、この三角形は正三角形の半分です。

4cmは一辺の半分なので、正三角形の一辺は8cmになります。


緑と青を足した三角形は8cmを底辺とする直角二等辺三角形です。

二等分すると緑と青の直角二等辺三角形になり、それぞれの斜辺は4cmです。


緑と青の直角二等辺三角形の底辺をAとします。

Aは、赤と黄色の直角三角形の斜辺と同じ長さです。


赤と黄色の直角三角形を取り出して横にし、重ねてみました。

黄色の頂点から下へ垂線を引いてみます。

左側の角度は、15°×2で30°です。30°と90°があるので、この三角形は正三角形の半分です。

正三角形の半分なので、高さは「A÷2」です。黄色のAの半分と考えると分かりやすいです。


直角二等辺三角形の高さは、底辺の半分なので「A÷2」になります。

正方形の対角線は同じ長さです。対角線の半分なので「A÷2」とも言えます。


緑の三角形の面積は、4cm×4cm÷2=8c㎡です。

青の三角形の面積も、4cm×4cm÷2=8c㎡です。


黄色と赤を重ねた三角形の底辺はA、高さはA÷2です。

緑の三角形の底辺もA、高さもA÷2なので、二つは同じ面積です。

従って黄色と赤を重ねた三角形の面積は8c㎡です。

よってこの問題の解答は、8c㎡+8c㎡+8c㎡=24c㎡です。

 

長方形の面積は?

図のような長方形があります。

右上の角から左下へ直線が伸びています。

右下の角からその線に垂線が伸びています。

他の箇所の角度や寸法は不明です。

さて長方形の面積はいくらでしょう?

しばらく考えてください。分かりましたか?

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説明します。

答えは意外と簡単でした。補助線を一本引いて三角形を作ればいいのです。

三角形の面積は、(6cm+2cm)×5cm÷2=20c㎡です。

四角形の面積は三角形の2倍なので長方形の面積は、20c㎡×2=40c㎡です。

問題は三問とも解けましたか?

以上、お疲れさまでした。

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