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【頭の体操】三角形の面積はなぜ底辺×高さ÷2なの?鈍角三角形はムズい

2020年10月5日

<三角形の面積はなぜ底辺×高さ÷2なのか?鈍角三角形は難しい>

三角形の種類

三角形は内角の大きさによって三種類に分けられます。

  • 鋭角三角形(えいかくさんかっけい)
    すべての角が90度より小さい三角形です。
  • 直角三角形(ちょっかくさんかっけい)
    90度ちょうどの角がある三角形を直角三角形といいます。
  • 鈍角三角形(どんかくさんかっけい)
    一つでも90度より大きな角があれば鈍角三角形です。

三角形の面積を求める式は以下のとおりです。

三角形の面積=底辺×高さ÷2

簡単ですね。でも鈍角三角形は説明できますか?

 

直角三角形

直角三角形は補助線を引いて四角形にするとわかりやすいですね。四隅は90度です。

底辺×高さ÷2で①の面積を求めることができます。

 

鋭角三角形

下図の様に補助線を引きます。

鋭角三角形は直角三角形が二つあると考えると分かりやいです。

 

鈍角三角形

このような鈍角三角形の面積は「底辺×高さ÷2」で説明できるのでしょうか。

 

 

鈍角三角形ABCに補助線を追加して、直角三角形ABDを作成します。

「底辺×高さ÷2」の底辺はBD、高さはADになります。

 

 

辺ADと辺BDと平行の補助線を引き、長方形AEBDを作成します。

 

 

長方形AEBDの中央に補助線GFを引きます。辺EGと辺GB、辺AFと辺FDは同じ長さです。

直角三角形ABDの面積は長方形FGBDと同じになります。(三角形の面積=底辺×高さ÷2)

 

 

直角三角形ABDから直角三角形ACDを取り除くと鈍角三角形ABCの面積になります。

補助線HCを引きます。

 

 

三角形①と②の面積は同じです。

直角三角形AJFを180度回転させ、直角三角形JICにはめ込みます。(②を①にはめ込みます。)

直角三角形ACDと四角形FICDは同じ面積になります。

よって鈍角三角形ABCの面積は四角形IGBCの面積と同じになります。

四角形IGBCは底辺×高さ÷2となります。

 

まとめ

直角三角形ABDと四角形FGBDは同じ面積です。

直角三角形ACDと四角形FICDは同じ面積です。

鈍角三角形ABCの面積=直角三角形ABDの面積ー直角三角形ACDの面積とも言えます。

少しややこしかったですね。お疲れさまでした。

 

公式を使えば三角形の面積なんてすぐに計算できます。

三角形の面積=底辺×高さ÷2は、直角三角形と鋭角三角形は簡単にイメージできます。

でも鈍角三角形はイメージできませんでした。

他の面積の公式を使用して説明するのも、なんか違うような気がしました。

もっと分かりやすい説明があれば教えてください。

追加:「その2」の説明です。

 

追加 鈍角三角形その2

三角形の面積は、底辺×高さ÷2です。

①と②の面積は同じです。

 

 

底辺×高さ÷2は以下の様に書き換えることができます。

今回はこの考えを応用します。

 

 

鈍角三角形ABCを用意します。

 

 

直角三角形ACDを追加します。

③は直角三角形ABDです。

面積は③=①+②です。

三角形③は大きな直角三角形ABDです。

三角形②は小さな直角三角形ACDです。

三角形①は面積を求める鈍角三角形ABCです。

 

 

三角形を四角形に変換しました。

以下の図は三角形の面積と同じです。(辺AFと辺FDの長さは同じです。)

四角形①②③と三角形①②③の面積は同じです。

四角形①の面積は、四角形③ー②になります。

四角形①の面積は底辺×高さ÷2で、三角形の面積の式と同じです。

四角形①は、鈍角三角形ABCの面積となります。

 

 

こちらの説明の方が分かりやすいですか?

人からアドバイスをいただきました。

よかったら参考にしてください。


 

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