【頭の体操】頭が固い人には解けないかも！面積の問題#6

この問題のポイントはこちらです。

直角三角形の三辺が円に接しています。

円の中心から、接線の接点の間に引いた線は、接線に対して垂直になります。

三角形の頂点から、円に伸びた2本の接線は、同じ長さなので以下のようになります。

A＝B、C＝D、E＝F

接線Aと接線Bがある四角形は、直角三角形の直角と、2箇所の接線部分が直角です。

四角形のAとBは同じ、2箇所の半径も同じなので、この四角形は正方形になります。

円の半径は、接線Aと接線Bと同じ長さです。

接線Aと接線Bの長さは次の式で求められます。

A＝8cm-F

B=6cm-C

よって次の式が成り立ちます。

① A＋B=8cm＋6cm-F-C
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② A＋B=8cm＋6cm-(F＋C)
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③ A＋B=8cm＋6cm-(E＋D)
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④ A＋B=8cm＋6cm-10cm
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⑤ A＋B=4cm
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⑥ A=2cm
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⑦ 半径=2cm

解説します。解説が不要な方は以下の①から⑦を読み飛ばしてください。

① 三角形の頂点から、円に伸びた2本の接線は同じ長さです。

A＋Bは、8cm＋6cmを足したものからFとCを引いたものです。

② 「FとCを引く」は「FとCを足してから引く」と同じです。

③ FとE、CとDは同じ長さなので、それぞれを置き換えます。

④ EとDは足すと10cmですので、A＋Bは8cm＋6cm-10cmです。

⑤ A＋Bは4cmです。

⑥ AとBは同じ長さので、Aは2cmになります。

⑦ Aと半径は同じ長さので、半径は2cmになります。

よってこの問題の答えは、半径2cmです。

難しそうに見えるこの問題も、1本の補助線を引くことで簡単になります。

上部に補助線を引いて緑の三角形を追加してみました。

緑の三角形の面積に、気が付いた人はいますか？

緑の三角形の面積は、3cm×4cm÷2で6c㎡です。

そして全体の四角形は、底辺が4cmの台形です。

台形の上底と下底は平行です。

なので三角形「青+緑」と三角形「青+赤」は同じ面積です。

よって問題の答え、赤の三角形の面積は「6c㎡」になります。

白い三角形を含めた、白：赤：緑の面積比は１：１：２です。

白い三角形と赤い三角形は合わせると正方形となり、対角線はABです。

この小さい正方形と緑の面積比は、２：２になり１：１となります。

なので、この小さい正方形の面積は、一辺9cmの正方形の面積の半分です。

小さい正方形の面積＝9cm×9cm÷2

対角線はABです。

正方形の面積は、対角線×対角線÷２ですので、以下のようになります。

小さい正方形＝緑の面積
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AB×AB÷2＝9cm×9cm÷2

従って問題の答え、ABの長さは9cmになります。